Антоні Дзям'янка нарадзіўся 1 студзеня 1960 г. у в. Заброддзе, якая належыць да парафіі Дзераўная Мінска-Магілёўскай архідыяцэзіі.
Пасля заканчэння сярэдняй школы не атрымаў дазволу ад дзяржаўных уладаў на паступленне ў Рыжскую духоўную семінарыю. Святарскую фармацыю праходзіў пад кіраўніцтвам доктара тэалагічных навук, кс. пралата Вацлава Пянткоўскага, тагачаснага генеральнага вікарыя Пінскай дыяцэзіі.
28 кастрычніка 1980 г. атрымаў сакрамэнт святарства.
Да 26 красавіка 1985 г. не меў афіцыйнага дазволу ад дзяржаўных уладаў на святарскую службу і працаваў закрыстыянінам і арганістам.
У 1982–1984 гг. праходзіў вайсковую службу ў Запаляр'і Мурманскай вобласці.
З 1984 г. да 1998 г. — пробашч наваградскай парафіі Перамянення Пана.
З 1992 г. вучыўся ў Інстытуце сям'і Каталіцкай тэалагічнай акадэміі ў Варшаве, які закончыў у 1996 г., атрымаўшы тытул магістра тэалогіі.
4 ліпеня 1998 г. дэкрэтам Святога Айца Яна Паўла ІІ быў менаваны дапаможным біскупам Гродзенскай дыяцэзіі. Кансэкрацыя адбылася 29 верасня 1998 г.
Да прызначэння дапаможным біскупам для Мінска-Магілёўскай архідыяцэзіі быў Генеральным вікарыем Гродзенскай дыяцэзіі, пробашчам гродзенскай катэдральнай парафіі і рэктарам Духоўнай семінарыі ў Гродне.
Выбраны Генеральным сакратаром Канферэнцыі Каталіцкіх Біскупаў у Беларусі, Старшынёй Радаў па справах Літургіі, Сям'і і Дабрачыннай дзейнасці.